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小白学统计(5)——数据离散程度描述

集中趋势指标是数据的一个特征,数据的另一个特征是离散程度指标。在统计分析中,离散程度指标可以说明集中趋势指标的代表性如何,还可在统计推断时用来计算误差的大小。另外,离散程度指标还被用来说明事物在发展变化过程中的均衡性、节奏性和稳定性等问题。例如,有两组数据,第一组是19,20,21,第二组是15,20,25。如果只根据均值(两组的均值都是20)我们将无法区别两组数据有什么不同。但显然两组数据是有区别的。在这种情况下,就需要使用离散程度的指标来描述那一组分散的程度更大一些。

离散程度指标的种类很多,下面介绍的是常用的几种。

全距(Range)又称极差,是指数据中最大值和最小值的差值。如果用R表示全距,用Xmax,Xmin,分别表示数据的最大值、最小值,则全距公式为:R = Xmax- Xmin。例如,前面提到的两组数据中,第一组数据的全距R = 21 – 19 = 2,第二组数据的全距R = 25 – 15 = 10。通过全距的数值我们可以确定第二组数据的离散程度更大。由此,我们可以记住一个一般性结论:离散指标的数据越小,说明数据的变异程度就越小;数值越大,则说明数据的变异程度越大。当然,这个结论只有在同类离散指标相比较时才会有意义。

全距指标的应用问题

全距指标的含义容易理解,计算也很简便。因此,在某些场合具有特殊的用途。例如,要说明一个地区的温度情况,没有比用温差说明更好的指标了。在描述一种股票的波动情况时,最高价和最低价的差是常使用的特征值。另外,在成品质量控制方法中,R控制图也是全距的一种应用。但是,全距在计算上只与两个极端值有关,因此它不能反应其他数据的分散情况,就这一点来说,全距只是一个比较粗糙的测度指标。如果需要全面、精确地说明数据离散程度时,就不宜使用全距。

平均差(Mean Absolute Deviation)就是各项数值与其均值之差绝对值之和的平均数。用MAD表示平均差,其公式为:

所谓离散,是个相对概念,需要用一个标准来衡量。因为均值是最重要也是最常用的指标,所以就成为衡量离散程度的一个常用标准。方法就是用各项数据与与均值相减,通常将这个差值称为离差(Deviation)。离差数值的大小就可以说明数据的偏离程度。但是,可以证明

因为相对于均值的正、负偏差之和是相等的。为了解决离差正、负值抵消的问题,统计学家使用了绝对值的方法,如平均差

,更多使用的是平方的方法,如方差

,然后再用平均的方法,消除掉由于数据项数多少给离差值带来的影响,即

从指标的含义来看,平均差的数值代表了所有数据离均值的平均距离,使用该数据说明数据的离散程度,比较容易理解。

平均差的应用问题

虽然平均差简单易懂,但因为使用了绝对值,不便于进一步计算,所以在实际应用中不如其他离散指标应用那样广泛。但在预测领域,还常常使用该指标用于误差的说明。

方差(Variance)就是全部数据离差平方的平均数。总体方差用表示,计算公式为:

方差克服了平均差绝对值的问题,成为描述离散程度的一个重要指标。但是,在方差数值含义的解释上却遇到困难。因为方差的单位是数据单位的平方,夸大了数据的离散程度,使人不易直观理解数值意义。因此,通常取方差的算数平方根作为描述离散程度的指标,即标准差(StandardDeviation)。总体标准差的公式表示如下:

如果用上面的数据计算,对于这个数据,我们就很容易理解它的含义了。

方差、标准差的应用问题

总体方差用表示,总体标准差用表示,而样本方差用S2表示,样本标准差用S表示,不能混淆。样本方差与标准差的计算公式如下:

可以看到,样本方差及标准差与总体方差和标准差的计算公式略有不同。样本方差和标准差的分母是n-1而不是n。因为样本的方差和标准差在使用中,经常作为总体方差和标准差的估计量,分母除以n-1而不是n,可以得到总体方差和标准差的较好的估计量。

离散系数(Coefficient Of Variation)就是标准差与均值的比值。一般用V表示。总体的离散系数表示:

样本的离散系数表示为:

离散系数的应用问题

离散系数实质上是标准差相对于均值的大小。因此,如果比较均值不相同的两组数据相对离散程度时,使用离散系数,要比使用标准差更准确。例如,假定有甲、乙两个工人,甲平均每小时生产40个零件,标准差是5件。乙平均每小时生产80个零件,标准差为6件。那么那个工人的稳定性比较好呢?根据标准差的定义,标准差越小,离散性就越小,所以甲生产要比乙稳定。但是,我们看到乙的标准差虽然比甲略高,但其生产的能力确实甲的2倍(80/40)。也就是说,6相对于80的变化要小于5相对于40的变化,这个含义就是离散系数。计算过程如下:

由此可见,乙的离散系数小于甲,所以乙的生产要比甲相对稳定。离散系数是个无名数,这是它与其他离散指标的最大区别。全距、平均差还有标准差,它们都是有名数,其单位与原始数据的单位一致。离散系数的这一特点使其不仅可以说明同类事物的相对离散程度,还可以说明不同类事物的相对离散程度。例如,当我们有兴趣比较一群人的身高离散程度大,还是体重离散程度大时,其他离散指标都不能用于比较,因为身高与体重的单位不一致。而离散系数就可以比较,因为它完全消除了单位的影响。

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