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数据挖掘化功大法(12)——特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

A 是一个 阶方阵,λ是一个数,如果方程

AX=λX junk (1)

存在非零解向量,则称 λ 为 A 的一个特征值,相应的非零解向量 X 称为属于特征值λ的特征向量.

(1)式也可写成,

(A-λE)X=0(2)

这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式

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f(λ)=

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数据挖掘化功大法(12)——特征值和特征向量

(ⅰ)

数据挖掘化功大法(12)——特征值和特征向量
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第一步:计算 A 的特征多项式

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第三步:对于 A 的每一个特征值 λ,求出齐次线性方程组:

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数据挖掘化功大法(12)——特征值和特征向量

使用matlab求特征值和特征向量

>>clc;clear;close; >>A=[3,-1,-2;2,0,-2;2,-1,-1]; >>[X,B]=eig(A) %求矩阵A的特征值和特征向量,其中B的对角线元素是特征值, %X的列是相应的特征向量 最后的结果是: X = 0.7276 -0.5774 0.6230 0.4851 -0.5774 -0.2417 0.4851 -0.5774 0.7439 B = 1.0000 0 0 0 0.0000 0 0 0 1.0000

关于特征值和特征向量的定理

定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

相似矩阵

A B 都是 阶方阵,若存在满秩矩阵 P, 使得

数据挖掘化功大法(12)——特征值和特征向量

“相似”是矩阵间的一种关系,这种关系具有如下性质:

数据挖掘化功大法(12)——特征值和特征向量

⑵ 对称性:若 A~B,则 B~A

⑶ 传递性:若 A~B,B~C,则 A~C

相似矩阵还具有下列性质:

相似矩阵有相同的特征多项式,因而有相同的特征值.

对角化这个概念是针对矩阵而言的,并且矩阵的对角化源自于线形变换的化简,所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。

设一线性变换a,在基 m 下的矩阵为 A,在基 下的矩阵为 Bm 的过渡矩阵为 X,那么可以证明:B=X-1AX

那么定义:A,B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵 X,满足 B=X-1AX ,那么说 A B 是相似的(是一种等价关系)。

如果存在可逆矩阵 X 使 A 与一个对角矩阵 B 相似,那么说 A 可对角化。

相应的,如果线性变换 a 在基m下的矩阵为A,并且A相似于对角矩阵B,那么令X为过渡矩阵即可求出基n,并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵,从而达到了化简。

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