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面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

你喜欢的东西我也喜欢

我们将从推荐系统开始,开启数据挖掘之旅。推荐系统无处不在,如亚马逊网站的“看过这件商品的顾客还购买过”板块:

面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

last.fm上对音乐和演唱会的推荐(相似歌手):

面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

在亚马逊的例子里,它用了两个元素来进行推荐:一是我浏览了里维斯翻译的《法华经》一书;二是其他浏览过该书的顾客还浏览过的译作。

本章我们讲述的推荐方法称为协同过滤。顾名思义,这个方法是利用他人的喜好来进行推荐,也就是说,是大家一起产生的推荐。他的工作原理是这样的:如果要推荐一本书给你,我会在网站上查找一个和你类似的用户,然后将他喜欢的书籍推荐给你——比如巴奇加卢比的《发条女孩》。

如何找到相似的用户?

所以首先要做的工作是找到相似的用户。这里用最简单的二维模型来描述。假设用户会在网站用五颗星来评价一本书——没有星表示书写得很糟,五颗星表示很好。因为我们用的是二维模型,所以仅对两本书进行评价:史蒂芬森的《雪崩》(纵轴)和拉尔森的《龙纹身的女孩》(横轴)。

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首先,下表显示有三位用户对这两本书做了评价:

面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

现在我想为神秘的X先生推荐一本书,他给《雪崩》打了四星,《龙纹身的女孩》两星。第一个任务是找出哪个用户和他最为相似。我们用距离来表示。

曼哈顿距离

最简单的距离计算方式是曼哈顿距离。在二维模型中,每个人都可以用(x, y)的点来表示,这里我用下标来表示不同的人,(x1, y1)表示艾米,(x2, y2)表示那位神秘的X先生,那么他们之间的曼哈顿距离就是:

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也就是x之差的绝对值加上y之差的绝对值,这样他们的距离就是4。

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完整的计算结果如下:

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艾米的距离最近,在她的浏览历史中可以看到她曾给巴奇加卢比的《发条女孩》打过五星,于是我们就可以把这本书推荐给X先生。

欧几里得距离

曼哈顿距离的优点之一是计算速度快,对于Facebook这样需要计算百万用户之间的相似度时就非常有利。

勾股定理

也许你还隐约记得勾股定理。另一种计算距离的方式就是看两点之间的直线距离:

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利用勾股定理,我们可以如下计算距离:

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这条斜线就是欧几里得距离,公式是:

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回顾一下,这里的x1表示用户1喜欢《龙纹身》的程度,x2是用户2喜欢这本书的程度;y1则是用户1喜欢《雪崩》的程度,y2是用户2喜欢这本书的程度。

艾米给《龙纹身》和《雪崩》都打了五颗星,神秘的X先生分别打了两星和四星,这样他们之间的欧几里得距离就是:

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以下是全部用户的计算结果:

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N维模型

刚才我们仅仅对两本书进行评价(二维模型),下面让我们扩展一下,尝试更复杂的模型。假设我们现在要为一个在线音乐网站的用户推荐乐队。用户可以用1至5星来评价一个乐队,其中包含半星(如2.5星)。下表展示了8位用户对8支乐队的评价:

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表中的短横表示这位用户没有给这支乐队打分。我们在计算两个用户的距离时,只采用他们都评价过的乐队,比如要计算Angelica和Bill的距离,我们只会用到5支乐队。这两个用户的曼哈顿距离为:

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最后距离即是上方数据的加和:(1.5 + 1.5 + 3 + 2 + 1)。

计算欧几里得距离的方法也是类似的,我们也只取双方都评价过的乐队。

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用公式来描述即:

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掌握了吗? 那就试试计算其他几个用户之间的距离吧。

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有个瑕疵

当我们计算Hailey和Veronica的距离时会发现一个问题:他们共同评价的乐队只有两支(Norah Jones和The Strokes),而Hailey和Jordyn共同评价了五支乐队,这似乎会影响我们的计算结果,因为Hailey和Veronica之间是二维的,而Haily和Veronica之间是五维的。曼哈顿距离和欧几里得距离在数据完整的情况下效果最好。如何处理缺失数据,这在研究领域仍是一个活跃的话题。本书的后续内容会进行一些讨论,这里先不展开。现在,让我们开始构建一个推荐系统吧。

推广:闵可夫斯基距离

我们可以将曼哈顿距离和欧几里得距离归纳成一个公式,这个公式称为闵可夫斯基距离:

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其中:

r = 1 该公式即曼哈顿距离

r = 2 该公式即欧几里得距离

r = ∞ 极大距离

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当你在书中看到这些数学公式,你可以选择快速略过它,继续读下面的文字,过去我就是这样;你也可以停下来,好好分析一下这些公式,会发现其实它们并不难理解。比如上面的公式,当r = 1时,可以简化成如下形式:

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仍用上文的音乐站点为例,x和y分别表示两个用户,d(x, y)表示他们之间的距离,n表示他们共同评价过的乐队数量,我们之前已经做过计算:

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其中Difference一栏表示两者评分之差的绝对值,加起来等于9,也就是他们之间的距离。

当r = 2时,我们得到欧几里得距离的计算公式:

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提前预告一下:r值越大,单个维度的差值大小会对整体距离有更大的影响。

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使用Python代码来表示数据(终于要开始编程了)

在Python中,我们可以用多种方式来描述上表中的数据,这里我选择Python的字典类型(或者称为关联数组、哈希表)。

注:本书的所有代码可以在这里找到。面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

 

我们可以用以下方式来获取某个用户的评分:

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计算曼哈顿距离

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我们可以做一下测试:

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下面我们编写一个函数来找出距离最近的用户(其实该函数会返回一个用户列表,按距离排序):面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

简单测试一下:

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最后,我们结合以上内容来进行推荐。假设我想为Hailey做推荐,这里我找到了离他距离最近的用户Veronica。然后,我会找到出Veronica评价过但Hailey没有评价的乐队,并假设Hailey对这些陌生乐队的评价会和Veronica相近。比如,Hailey没有评价过Phoenix乐队,而Veronica对这个乐队打出了4分,所以我们认为Hailey也会喜欢这支乐队。下面的函数就实现了这一逻辑:面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

下面我们就可以用它来为Hailey做推荐了:

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运行结果和我们的预期相符。我们看可以看到,和Hailey距离最近的用户是Veronica,Veronica对Phoenix乐队打了4分。我们再试试其他人:面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

我们可以猜想Chan会喜欢The Strokes乐队,而Sam不会太欣赏Deadmau5。面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

对于Angelica,我们得到了空的返回值,也就是说我们无法对其进行推荐。让我们看看是哪里有问题:面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

Angelica最相似的用户是Veronica,让我们回头看看数据:

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我们可以看到,Veronica评价过的乐队,Angelica也都评价过了,所以我们没有推荐。

之后,我们会讨论如何解决这一问题。

作业:实现一个计算闵可夫斯基距离的函数,并在计算用户距离时使用它。面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

用户的问题

让我们仔细看看用户对乐队的评分,可以发现每个用户的打分标准非常不同:

  1. Bill没有打出极端的分数,都在2至4分之间;
  2. Jordyn似乎喜欢所有的乐队,打分都在4至5之间;
  3. Hailey是一个有趣的人,他的分数不是1就是4。

那么,如何比较这些用户呢?比如Hailey的4分相当于Jordan的4分还是5分呢?我觉得更接近5分。这样一来就会影响到推荐系统的准确性了。

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左:我非常喜欢Broken Bells乐队,所以我给他们打4分!

右:Broken Bells乐队还可以,我打4分。

皮尔逊相关系数

解决方法之一是使用皮尔逊相关系数。简单起见,我们先看下面的数据(和之前的数据不同):

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这种现象在数据挖掘领域称为“分数膨胀”。Clara最低给了4分——她所有的打分都在4至5分之间。我们将它绘制成图表:

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一条直线——完全吻合!!!

直线即表示Clara和Robert的偏好完全一致。他们都认为Phoenix是最好的乐队,然后是Blues Traveler、Norah Jones。如果Clara和Robert的意见不一致,那么落在直线上的点就越少。

意见基本一致的情形

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意见不太一致的情形

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所以从图表上理解,意见相一致表现为一条直线。皮尔逊相关系数用于衡量两个变量之间的相关性(这里的两个变量指的是Clara和Robert),它的值在-1至1之间,1表示完全吻合,-1表示完全相悖。从直观上理解,最开始的那条直线皮尔逊相关系数为1,第二张是0.91,第三张是0.81。因此我们利用这一点来找到相似的用户。

皮尔逊相关系数的计算公式是:

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这里我说说自己的经历。我大学读的是现代音乐艺术,课程包括芭蕾、现代舞、服装设计等,没有任何数学课程。我高中读的是男子学校,学习了管道工程和汽车维修,只懂得很基础的数学知识。不知是因为我的学科背景,还是习惯于用直觉来思考,当我遇到这样的数学公式时会习惯性地跳过,继续读下面的文字。如果你和我一样,我强烈建议你与这种惰性抗争,试着去理解这些公式。它们虽然看起来很复杂,但还是能够被常人所理解的。

上面的公式除了看起来比较复杂,另一个问题是要获得计算结果必须对数据做多次遍历。好在我们有另外一个公式,能够计算皮尔逊相关系数的近似值:

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这个公式虽然看起来更加复杂,而且其计算结果会不太稳定,有一定误差存在,但它最大的优点是,用代码实现的时候可以只遍历一次数据,我们会在下文看到。首先,我们将这个公式做一个分解,计算下面这个表达式的值:

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对于Clara和Robert,我们可以得到:

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很简单把?下面我们计算这个公式:

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Clara的总评分是22.5, Robert是15,他们评价了5支乐队,因此:

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所以,那个巨型公式的分子就是70 – 67.5 = 2.5。

下面我们来看分母:

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首先:

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我们已经计算过Clara的总评分是22.5,它的平方是506.25,除以乐队的数量5,得到101.25。综合得到:

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对于Robert,我们用同样的方法计算:

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最后得到:

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因此,1表示Clara和Robert的偏好完全吻合。

先休息一下吧

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计算皮尔逊相关系数的代码

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测试一下:

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最后一个公式:余弦相似度

这里我将奉上最后一个公式:余弦相似度。它在文本挖掘中应用得较多,在协同过滤中也会使用到。为了演示如何使用该公式,我们换一个示例。这里记录了每个用户播放歌曲的次数,我们用这些数据进行推荐:

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简单扫一眼上面的数据(或者用之前讲过的距离计算公式),我们可以发现Ann的偏好和Sally更为相似。

问题在哪儿?

我在iTunes上有大约4000首歌曲,下面是我最常听的音乐:

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可以看到,Moonlight Sonata这首歌我播放了25次,但很有可能你一次都没有听过。事实上,上面列出的这些歌曲可能你一首都没听过。此外,iTunes上有1500万首音乐,而我只听过4000首。所以说单个用户的数据是 稀疏 的,因为非零值较总体要少得多。当我们用1500万首歌曲来比较两个用户时,很有可能他们之间没有任何交集,这样一来就无从计算他们之间的距离了。

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类似的情况是在计算两篇文章的相似度时。比如说我们想找一本和《The Space Pioneers》相类似的书,方法之一是利用单词出现的频率,即统计每个单词在书中出现的次数占全书单词的比例,如“the”出现频率为6.13%,“Tom” 0.89%,“space” 0.25%。我们可以用这些数据来寻找一本相近的书。但是,这里同样有数据的稀疏性问题。《The Space Pioneers》中有6629个不同的单词,但英语语言中有超过100万个单词,这样一来非零值就很稀少了,也就不能计算两本书之间的距离。

余弦相似度的计算中会略过这些非零值。它的计算公式是:

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其中,“·”号表示数量积。“||x||”表示向量x的模,计算公式是:

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我们用上文中“偏好完全一致”的示例:

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所以两个向量为:

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它们的模是:

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数量积的计算:

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因此余弦相似度是:

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余弦相似度的范围从1到-1,1表示完全匹配,-1表示完全相悖。所以0.935表示匹配度很高。

作业:尝试计算Angelica和Veronica的余弦相似度

应该使用哪种相似度?

我们整本书都会探索这个问题,以下是一些提示:

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如果数据存在“分数膨胀”问题,就使用皮尔逊相关系数。

如果数据比较“密集”,变量之间基本都存在公有值,且这些距离数据是非常重要的,那就使用欧几里得或曼哈顿距离。

如果数据是稀疏的,则使用余弦相似度。

所以,如果数据是密集的,曼哈顿距离和欧几里得距离都是适用的。那么稀疏的数据可以使用吗?我们来看一个也和音乐有关的示例:假设有三个人,每人都给100首音乐评过分。面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

Jake(左):乡村音乐的忠实听众。

Linda和Eric(右):我们爱六十年代的摇滚乐!

Linda和Eric喜欢相同的音乐,他们的评分列表中有20首相同的的歌曲,且评分均值相差不到0.5!所以他们之间的曼哈顿距离为20 x 0.5 = 10,欧几里得距离则为:

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Linda和Jake只共同评分了一首歌曲:Chris Cagle的 What a Beautiful Day 。Linda打了3分,Jake打了5分,所以他们之间的曼哈顿距离为2,欧几里得距离为:

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所以不管是曼哈顿距离还是欧几里得距离,Jake都要比Eric离Linda近,这不符合实际情况。

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嘿,我想到一个办法。人们给音乐打分是从1到5分,那些没有打分的音乐就统一给0分好了,这样就能解决数据稀疏的问题了!

想法不错,但是这样做也不行。为了解释这一问题,我们再引入两个人到例子里来:Cooper和Kelsey。他们和Jake都有着非常相似的音乐偏好,其中Jake在我们网站上评价了25首歌曲。

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Cooper评价了26首歌曲,其中25首和Jake是一样的。他们对每首歌曲的评价差值只有0.25!

Kelsey在我们网站上评价了150首歌曲,其中25首和Jake相同。和Cooper一样,她和Jake之间的评价差值也只有0.25!

所以我们从直觉上看Cooper和Keylsey离Jake的距离应该相似。但是,当我们计算他们之间的曼哈顿距离和欧几里得距离时(代入0值),会发现Cooper要比Keylsey离Jake近得多。

为什么呢?

我们来看下面的数据:

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从4、5、6这三首歌来看,两人离Jake的距离是相同的,但计算出的曼哈顿距离却不这么显示:

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问题就在于数据中的0值对结果的影响很大,所以用0代替空值的方法并不比原来的方程好。还有一种变通的方式是计算“平均值”——将两人共同评价过的歌曲分数除以歌曲数量。

总之,曼哈顿距离和欧几里得距离在数据完整的情况下会运作得非常好,如果数据比较稀疏,则要考虑使用余弦距离。

古怪的现象

假设我们要为Amy推荐乐队,她喜欢Phoenix、Passion Pit、以及Vampire Weekend。和她最相似的用户是Bob,他也喜欢这三支乐队。他的父亲为Walter Ostanek乐队演奏手风琴,所以受此影响,他给了这支乐队5星评价。按照我们现在的推荐逻辑,我们会将这支乐队推荐给Amy,但有可能她并不喜欢。

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或者试想一下,Billy Bob Olivera教授喜欢阅读数据挖掘方面的书籍以及科幻小说,他最邻近的用户是我,因为我也喜欢这两种书。然而,我又是一个贵宾犬的爱好者,所以给《贵宾犬的隐秘生活》这本书打了很高的分。这样一来,现有的推荐方法会将这本书介绍给Olivera教授。

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问题就在于我们只依靠最相似的 一个 用户来做推荐,如果这个用户有些特殊的偏好,就会直接反映在推荐内容里。解决方法之一是找寻多个相似的用户,这里就要用到K最邻近算法了。

K最邻近算法

在协同过滤中可以使用K最邻近算法来找出K个最相似的用户,以此作为推荐的基础。不同的应用有不同的K值,需要做一些实验来得出。以下给到读者一个基本的思路。

假设我要为Ann做推荐,并令K=3。使用皮尔逊相关系数得到的结果是:

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这三个人都会对推荐结果有所贡献,问题在于我们如何确定他们的比重呢?我们直接用相关系数的比重来描述,Sally的比重是0.8/2=40%,Eric是0.7/2=35%,Amanda则是25%:

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假设他们三人对Grey Wardens的评分以及加权后的结果如下:

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最后计算得到的分数为:

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Python推荐模块

我将本章学到的内容都汇集成了一个Python类,虽然代码有些长,我还是贴在了这里:面向程序员的数据挖掘指南2:推荐系统入门?

运行示例

首先构建一个推荐类,然后获取推荐结果:

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现在让我们使用一个更为真实的数据集。Cai-Nicolas Zeigler从图书漂流站收集了超过100万条评价数据——278,858位用户为271,379本书打了分。这份数据(匿名)可以从这个地址获得,有SQL和CSV两种格式。由于特殊符号的关系,这些数据无法直接加载到Python里。我做了一些清洗,可以从这里下载。

CSV文件包含了三张表:

  • 用户表,包括用户ID、位置、年龄等信息。其中用户的姓名已经隐去;
  • 书籍表,包括ISBN号、标题、作者、出版日期、出版社等;
  • 评分表,包括用户ID、书籍ISBN号、以及评分(0-10分)。

上文Python代码中的loadBookDB方法可以加载这些数据,用法如下:

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注意 由于数据集比较大,大约需要几十秒的时间加载和查询。

项目实践

只有运行调试过书中的代码后才能真正掌握这些方法,以下是一些实践建议:

  • 实现一个计算曼哈顿距离和欧几里得距离的方法;
  • 本书的网站上有一个包含25部电影评价的数据集,实现一个推荐算法。

本文采用「CC BY-SA 4.0 CN」协议转载学习交流,内容版权归原作者所有,如涉作品、版权和其他问题请联系「我们」处理。

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